這篇算是苦口婆心、老調常談的內文了。從事高中數學輔考十年的經驗下來,最令 Mr.Chao 灰心往往不是學生的成績,而是感受到台灣教育體制的不長進。看到部份學校或補習班,仍然在授予一些超出課綱的觀念 (有些是 80~90屆的還在教,甚至更古早也有…)、題型。考題內容偏頗,打擊多數學生的信心。同時,也不具有發人省思、思考的意義。最常見的就是,一味趕進度,背公式解題。多數學生變成考試機器,卻見不到一些科目的真善美。

 

以高中數學來說,這階段的數學可說是深富"生活意義"。這攸關接軌更高學府的基礎功,很多章節內容或延伸啟發在社會工作依然有用。舉凡,線性規劃、機率、矩陣、微積分等都有很多生活、科技的應用。可惜台灣大環境的弔詭,讓很多學生無法在高中時期感受到更多生活應用。事實上,透過高中數學的訓練,可以得到更長遠的思考運動。因為學習數學,背後更重要的是學習如何思考問題並解決!如果無法將現實面臨到的問題,運用定性或定量做系統性分析,進而得到最佳解。那顯然在高中數學階段,所得到的不過是公式、題目、技巧、分數而已。很可惜的是,數十年來,台灣在高中數學的教育,還是以解決冷門、偏門、高技術性題目,而不是帶出具有啟發性、應用性的問題分析與解決。如何有條有理有系統的分析,有策略的解決問題,應該才是高中數學要延伸出來的精神,而不是一味埋首解決"數學問題"!

 

以高中數學之排列組合為例,這是高中最具啟發思考、訓練系統化解決問題的章節。我常問受輔導的學生說,排列組合教的是什麼?十個學生有十一個學生會提到,C、N、H… 很顯然,這些反應教育並沒有告訴學生,這背後的意義!事實上,該章節最重要的不是排列組合。那應該是…

 

排列組合,學得應該是一件事物在產生某種變化時的所有可能性。只不過高中數學是以幾種能公式化的案例,做為教學與考試內容。如果能看出這個道理,就不會覺得排列組合很難。因為一開始就誤以為排組就是那些公式,就可能跳過探討事物變化的階段,那自然是解答不出來的。

 

排組問題,不能單純以為是公式計算。排組問題的核心,在於討論一件事物在某種情境與動作下,產生的所有可能性。必須針對該問題,我們思考解決程序,如下:

1) 問題的情境是什麼?
2) 問題的動態行為是什麼?
3) 問題的關鍵(痛)點是什麼?
4) 問題的限制條件是什麼?
5) 問題的解構程序是什麼?
6) 問題的細節還有缺什麼?


透過以上六個思考的方向,擬定我們的解決程序。當我們遇到排組問題時,首先要先思考該問題的情境與其動態行為,且同時找出影響解決過程的重要關鍵點,該點是找出所有可能性的痛點。關鍵點的特色,經常扮演影響問題的所有可能性,因此在痛點上做系統式分析解構,
如:運用樹狀分析,將使問題得到簡化。

 

另外,還要注意問題是否存在限制條件,該限制條件往往是解題的修正項,細節不可忽視。
最後,將以上情境、行為、關鍵、限制等看清後,進入最後的解題程序。解題程序,可細分數個子程序,在透過串聯或並聯關系,將可組織完整的解題程序。

 

以下四類為常見的解題程序:
串聯型 – 程序間呈現連續動作,前後有因果關系。
並聯型 – 程序上彼此獨立可切割,須同時並存才完整。
混和型 – 程序上有串、並聯的結果,須小心處理。
混亂型 – 程序處理上有無法切割清楚、耦和或極複雜的現象。

 

當發現處理過程中出現混亂型時,最常見的原因有三,
A. 找錯關鍵痛點,導致解構時無法切割清楚
B. 動態行為掌握錯誤,導致解構時出現耦和或複雜情況
C. 限制條件或其它細節疏忽,直接導致問題始終無法得到簡化

 

因此,遇到無法清清楚楚解構問題時,最好的方法還是回頭重新檢視是否有找錯關鍵痛點、動態行為掌握錯誤、或其它限制條件與細節有遺露。另外,有時發現處理程序複雜,建議可思考是否有避實就虛的方法。


有以上針對高中數學排列組合的解題思唯後,其它具體的作法,陳敘如下:
首先我們必須側重在對問題的分析,瞭解問題的本質,理解動態行為,小心細節後,透過計數六訣來建立適合的解題程序。其它值得注意的有:


1) 程序之間,注意串聯或並聯的關係。屬於四大解題程序的哪一類?
2) 思考是否有模組化(即公式化)的可能。若部份或整體程序中的動態行為,可等同類比排組六君子,那便能直接使用公式做計算。
3) 程序處理發現可能結果極為複雜時,請思考避實就虛之路,以取捨原理做計算。
4) 留心題目所提的限制條件或關鍵字眼,如:相鄰、至少、或其它不合理、有規範的現象。

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看到新聞標題覺得很誇張,說104年數學乙是十年最難。被挑起的好奇,於是趁夜深冷靜有空時,寫看看。

事實上並不會太難。之所以覺得難,是相對於以往數乙的考古題來看。不過若按照 Mr. Chao的輔考計劃,大致不會有新聞所提之情況。因為解題是有技巧!

不藏私,立馬分享一個大考心得是,考題要先挑軟的吃,建立信心才有可能發揮平常水準。如果因為第一題、第二題就被嚇到,那後面大概就失去平常實力。信心與實力都無法正常發揮,而爆掉。

 

第一題:考的是基本的排列組合,注意下順序,試著找下規則就會發現如下的情況: 

難度:☆

指考數學乙104-詳解

 

 

第二題:外皮是極限,事實上就是找出數列的表達式(CH04)。從簡單的情境去推廣,按照題目給的條件,小心處理就能找到規律。最後就是運用極限觀念,得出結果。

難度:☆☆☆

  

02

 

 

第四題 (多選):考文氏圖的應用,題目並沒有說整個空間只有兩種情況 (去冰與不加糖),所以不見得題目說的兩個情況,就是學生的全部情形。這部份要小心。剩下運用各種事件的交集與聯集,是否符合總機率為一的概念,就可以解答。

難度:☆☆

03

 

 

第五題 (多選):只要對指數對數的應用題熟悉(能量級數類問題),看到題目要求的條件,應該心中就有該題目的解答形式。針對特別怪異的對數方程式,只要去掉log做還原,並且檢驗是否符合題目要求的條件就可求解。

難度:☆☆

04

 

 第六題 (多選):矩陣乖法的應用,只要知道兩年後各價格會按1.03的平方做調整,剩下就是對矩陣乘法的熟悉了。所以,矩陣運算很熟,應該是送分題。

難度:☆☆

 

05

 

 

第七題 (多選):多項式基本題型。若熟悉除法原理、因式和餘式定理,該題是送分的。唯第五選項要小心處理,並且不要看錯。(因為只差一個負號)

難度:☆☆

 

06

 

第八題 (多選):二維數據的應用。因為數字很大,直接先扣掉一個基數(男扣3400,女扣2000)。

1) 問增加人數,簡單計算就發現女的增加幅度大。(可想成問全距誰大)

2) 問一年平均增加數,很顯然不對…

3) 經簡單計算發現也沒有差距變小,反而更大!

4) 問迴歸直線的斜率,其實就從年份-性別的散佈圖看。簡單劃一下,會發現女生變化率很高,這就代表女性的斜率比較大。觀念解題,不需計算的。

5) 簡單計算,發現是超過6000。

難度:☆☆

難度:☆☆☆☆ (觀念不強時)

07

 

 

08

 

 第九題 (選填):判斷在兩數字之間,直接視為該方程式求解時的"邊界"。帶入後,可得兩個邊界值,那自然 a 就可以知道有幾個了。

難度:☆

難度:☆☆☆ (觀念不強時) 

09

  

第十題 (選填):基本的平面向量。從題目所示的向量、角度,自然能想到內積向量式。從此出發,可得所有邊長與角度,接下來就自然破題了。

難度:☆

難度:☆☆☆ (觀念不強時) 

10

 

第十一題 (選填):判斷適不適應,卻沒有適應比率?顯然要先假設不適應比率 x ,接下來就能自然破題了。送分 ~

難度:☆

難度:☆☆☆ (觀念不強時)

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 第十二題 (非選):工程應用題。務必看清題目所有規範的條件!當看清條件後,可知道以下事情:

1) 高度影響長度

2) 坡度在極限值時,長度會最短

3) 平台在最短時,總長度也會縮短

4) 影響高度的日子,只有平台與坡道

5) 平台至少會有兩個以上

6) 坡道有高度限制

若能掌握到以上六點,可運用高度是由"平台"與"坡道"兩個所互相影響。所以當決定幾個平台時,將影響到坡道,進而可推算出坡道的長與高。經分析後,四個平台,切出三段符合限制的坡道。此時是條件符合下之最短長度。

難度:☆☆☆

難度:☆☆☆☆☆ (觀念不強時)

 

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這一系列"考前急看聽",Mr. Chao 特別點出學測或指考常見或常考的觀念,分享給應考的您。 

 

不得不拿分01- 多項式函數考什麼

 

多項式函數是高中數學中考出頻率甚高的地方,該章節幾乎是高中數學裡觀念最多的地方。這章節的內容,也常使學生覺得困惑。綜合除法、二次函數與圖形、除法原理、堪根定理、牛頓因式檢驗…有非常非常多內容。按講義或課本順序來學習,常有學生表示不容易有效率地融會慣通。因此,到底該怎麼有效率學習該章節,就顯得十分重要。

 

事實上,面對這章節最好的方法,就是不按課本的流程來複習。重新由定義運算應用延伸的程序來學習,才容易融會慣通。筆者因多年經驗,習慣將此章節切割以下幾個部份來討論與學習:

 

1) 多項式的基本定義與運算
2) 多項式的組成與分解
3) 多項式的應用 - 等式 解根
4) 多項式的應用 - 不等式
5) 多項式的應用 - 基本圖形

 

以上五個部份是學習多項式的五隻觸角。從基本定義與運算了解後,我們發現多項式往往具有"長鏈"的型態。科學的研究,習慣以切割整體找出關鍵的部份組成。因此,我們會在除法原理的基礎下,透過長除法或綜合除法…等,重新取得"多項式的組成"。這環節分析每個組成是誰?(商式、除式、餘式)、有什麼定理?(例如:因式定理)、能怎麼找到?(例如:牛頓因式檢測法)。

 001  
 


當瞭解多項式分解後,我們會反過來思考該如何重建"長鏈型"的多項式。因此,透過"插值法"學會重組多項式。
掌握多項式組成與分解後,我們思考等號成立與否問題。當等號成立時,是一種"解根"的概念。高中數學針對此部份,可透過解根五君子 (看.公.牛.系.隊),快速對應到可能的解題觀念與公式。

 

至於,多項式不等式來說,原則上只要掌握以下兩點,就能逢兇化吉。
1) 恒正或恒負是否存在?

2) 奇異點是否存在?(奇異點泛指式子中有出現不合理現象,如:導致分母為零的情況)

 

最後,多項式圖形基本上要特別留意一次式二次式:

1) 一次式:直線方程式,與後面的"直線與圓"、"平面中直線"…等習習相關。其中斜率大小的判斷很重要,攸關像是"線性規劃"的平行線法。

2) 二次式:拋物線方程式,與二次曲線直接相關。延伸出的配方法求極值、各項系數計算、公式解、恒正或恒負等,都是考試常見的。

 

考前急看聽01 - 多項式函數考什麼,已將大考會涉獵到的觀念與公式做簡單的交待。希望給每位需要的你,串連本章彼此關系,才不致於霧裡看花。

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【 數學 Issue - 什麼是系統化學習?】

 

在輔導經驗中,常常有學生會問 Mr. Chao說:「不知道該怎麼有效學習繁多的公式與觀念?每次遇到考題,腦袋時常一片空白,不知道該怎麼下手。」面對這種現象,我習慣稱它為:海豚擱淺症候群。究竟有什麼原因,讓部份學生很努力記下公式與觀念後,仍無法十拿九穩的把分數取得呢?難道真的是不夠努力?或上課在打混摸魚?

 

2011年時,Mr. Chao 曾輔導一位女學生。個案的各科成績都有不錯的表現,唯有數學始終有些瓶頸。難道落入性別魔咒,女性在理工表現先天較弱? Mr. Chao 透過三個層面去仔細瞭解她的學習情況 (心、法、力)。發現個案在課業成績總在班上前三名(社會組),這顯示學生本身絕非不認真(企圖心)。對數學而言,也是很努力去學習,並未出現失去學習動力的情況 (動力、信心)。然而,每次數學考試,遇到稍有變化非常見題型時,就會失去判斷而流失分數。

 

針對個案的情況,我使用以下的檢視方法 (自審之五力分析),去瞭解個案學習情況:

五力分析

 

在這項分析後,我相信該學生內心素質堅強有高度企圖心 (本質),在其它科上有強而有力的支撐點 (籌碼)。同時,學習上有目標,希望能將弱項補強,讓自己更有勝算 (動力)。剩下就是,"理解"與"方法"的情況。所謂的"理解",是指經學習後對該章節的掌握程度。而所謂的"方法",是指過往是怎麼學習強項科目與弱項科目。這目的,是為找出每個人的學習思維

 

舉例來說,"死記",確實對某些科目是直接而有效的學習方法。然而,你套用這種想法在數學,那自然是必死無疑。又例如,你拿歸納、公式化的邏輯思維去學習英文,那肯定是痛苦萬分。所以,每個人因成長背景有慣性的思考模式,若不能先掌握好學生原有的思路,如何能有效改善弱科的學習之路呢?

 

因數十年的輔導經驗,每位無法迎刃而解的學生,總有些特質可歸結,可簡單視覺化如下:

心性擾動因素

如果內心已鬆懈(弛) (特別是高三後期),情況會特別危急,要先從"心"去救。如果只是不得其法,那正確的學習方法將能使其進展快速。這類學生,往往欠缺的就是一種"系統化學習"

 

究竟什麼是系統化學習?

 

在筆者多年專案管理與理工訓練的洗禮下,使 Mr. Chao 不斷思考… 當時學習數學的過程,總是在記憶公式與觀念,而後就立即進行解題。在某章節下的各公式與觀念,到底彼此有什麼關連?或者,各章各節又有什麼關連呢?是不是有一套方式讓學習數學時,能盡快感受到各公式與觀念的關連與應用呢?

 

Mr. Chao 後來開始體會原來「學習數學的目的是在訓練一套思考及解決問題的模式」。當遇見問題,要先看清這問題背後的問題點是什麼,找出並分析背後的關鍵環節,自然會有後續的因應解法。這呼應到高中數學來看,所謂不得其法,由內而外且由大到小來,有四種情況,如下:(面、線、點、形

 

1) 對各章節的貫通:對各章各節間的融會慣通,知道每道習題需要哪些章節的知識。
2) 對某章節的掌握:對某章各節間的知識掌握,知道可能拿些公式與觀念有益解題。
3) 對某觀念 / 公式的理解:對要使用的公式與觀念,有充分的理解使用情境與限制。
4) 對考題的頗析:對考題揭露的文字或圖形訊息,拆穿外形看出本質,找出呼應某章節的公式與觀念。同時,知道需要修正調整的項目。

 

面線點破題  

 

針對上述四項情況,要有效得到改善,可以透過系統化學習來解決。

 

所謂系統化學習指的是,透過對某章節的中心本質之瞭解,思考各種情況下的觀點與應用之延伸,自然而然可掌握該章節大部份的內容。因此,你對該章節的觀念與公式理解,應該是有層次之分,而非亂無章法。知道彼此關系為何?何種情況下,會延伸出哪一個概念。何種限制下,會修正哪些公式。知道哪些情境,是呼應章節中的哪些概念。

 

舉例來說,大部份的學生總以為"排列組合"就是計算排列或組合的個數。這種中心本質的瞭解,使得學生會誤以為使用"階乘 N!、選取 C、重複組合 H…"等,就是該章節的核心。然而,若你對排列組合的本質,有"心"的體會,結果又不一樣!!事實上,高中所學的排列組合,是一種學習討論事物在某動作或變化下產出的所有可能性。因此,核心是該學習如何討論並找出所有可能性的方法。那延伸出來的枝節,自然是"哪些方法能找到?"。

 

例如:透過簡單的案例研究 (如:1,2,3,4,5),去思考並討論其 5個數字 排序的過程。這邊重點不是有多少個數(結果),而是你用什麼方法去討論(過程)最後,我們得到其"過程"不外乎…亂無章法的窮舉法、及有條有理的樹狀分析…等。更進一步分析後,我們發現這情況能用公式解。所以,個案從"過程"作思考而有以下方法:

 

1) 窮舉法,一種無法立即以系統性分析的土法練鋼法。
2) 樹狀圖,一種建立在系統性分析產出的分枝討論法。
3) 加法,一種透過各枝節互相獨立,加以討論可能性後的加總法。
4) 乘法,一種透過前後因果且獨立,加以討論取得少部份的可能數。
5) 排容原理,一種透過部份加總、或逆算倒扣而取得的可能數。
6) 排列組合,一種在些許情境下得到的可公式化計算的討論法。(即 C、N、H…)

 

所以,某章節中的觀念與公式,都是其來有自,源於一個本質。掌握本質,在透過 5種角度 去開展分枝,便能快速掌握該章節主要精神與應用。這些角度,代表從本質出發後的樹幹,分別如下: (以排列組合為例)

 

1) "基本定義":什麼是計數原理?
2) 
"情境應用":什麼情境該用什麼方法?(畫出輔助圖:理解情境) 
3) "限制情況":什麼關鍵要修正公式?(考慮修正項,如扣除重複項) 
4) "特殊模式":什麼情境有特殊公式解?(C、P、N、H…)
5) "概念延伸":什麼概念可延伸到其它章節?(如:排組延伸到機率應用、二項式定理的應用…)

 

中心本質探討展開   

 

筆者,透過以上系統化學習的方法,快速讓學生掌握數學背後的精髓。在學習上,能有條有理地理解各個層面。接著,從實際解題中訓練找出題目的關鍵環節,再思考呼應可能的公式與觀念,便能逐漸改善無法有效取分的情況了。

 

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【數學 Issue.迷失本質辨識能力】 
常見度:★★★★★

在多年的家教輔導經驗裡,99%的學生都會問 Mr. Chao 說:看到題目不會解,不知道怎麼辦?其實這問題的背後,往往背後埋著許多問題,發人省思。

在思考此問題前,我們可先留意海洋動物界常見的現象,即"海豚擱淺"的實際案例。地球上時常有海豚群往往不知何因,失去判斷不知如何走向正確的道路,而步入死胡同(dead-end)中。正如,每年總有考生遇到考題就當機是一樣,這很大的主因可能來自於,失去判斷不知如何走向正確解題的道路。當然,相信還有很多原因。例如:本身心無戀棧,自然心冷亦會卡關。也可能逆其道而行,練就一堆外單()功 (背解題技巧的學生),卻苦無心法來見招拆招。所以,要如何避免迷失本質辨識能力,就顯得格外重要。那方法不外乎找回正確判斷的邏輯。

Mathapply  

 

那該如何正確能找回判斷的邏輯方法呢?

 

若想杜絕高中數學的海豚擱淺症候群,首先必須檢視自己對各章節的"理解層次"。初次學習的學生,總對雜散的公式與觀念有些印象。然而,請學生試著完完整整解說整章節的意涵時,會發現說的仍舊是雜散的公式與觀念。這種現象顯示學習是沒有系統化學習,是非常淺薄的理解層次。

要能真正找回判斷的邏輯,首先就該清楚某章節 / 某觀念 / 某公式 的真正本質與應用。數學各項考試中,常會有些海市蜃樓讓考生產生困惑 (如:長文案 題目型)。此時,最能檢視自我的學習情況!若總是以"見山是山"做學習,即見一題背一題解法的學生,那往往就會遭障眼法所設計,堵在無情的沙灘上流失分數……

 

邏輯思考-高中數學  

 

舉"排列組合"來說,幾近100%的學生會跟 Mr. Chao 說:「這章節就是講,東西排來排去或拿來拿去的可能性。像是階乘 N!、選取 C、選排 P、重複組合 H…等」。我聽得十分搖頭…因為這顯示你的孩子已經出現"海豚擱淺症候群"的徵兆。

 

為什麼探討排列組合時,不該說是東西的排列組合呢?

 

其實道理很簡單,當你認為這章節就只是東西的排列組合,那你可能就把學習重心放在排列組合的公式中,階乘 N!、選取 C、選排 P、重複組合 H…等。你可能會透過習題去學習公式應用,卻忽略從該章節的本質 - 沒瞭解真正排列組合要告訴你的精神。那排列組合真正的背後的精神是什麼呢?我認為,這章節是要告訴我們瞭解,探討事物在某些動作下的所有可能性

 

接下來,我們該思考與學習的是,如何找到所有可能性的方法。因此,透過系統化學習與探討後 (參考:什麼是系統化學習?),不難發現排列組合真正的本質與思維架構應該如下:

 

1) 窮舉法,一種無法立即以系統性分析的土法練鋼法。
2) 樹狀圖,一種建立在系統性分析產出的分枝討論法。
3) 加法,一種透過各枝節互相獨立,加以討論可能性後的加總法。
4) 乘法,一種透過前後因果且獨立,加以討論取得少部份的可能數。
5) 排容原理,一種透過部份加總、或逆算倒扣而取得的可能數。
6) 排列組合,一種在些許情境下得到的可公式化計算的討論法。(即 C、N、H…)

 

簡單來說,我們應該先認知"排列組合"是學習探討事物變化的可能性,這才是該章節的本質!然後,再思考有什麼方法能協助我們去計算可能性?上述六種結果,正是高中數學在排列組合中慣用的方法。值得注意的是,所謂階乘 N!、選取 C、重複組合 H…等,這類常見排列組合的公式,其實只是該章節在某些情境、題目下的特解!!當你把特解當通解用,你不"海豚擱淺"才怪啊。

 

找回本質-高中數學  

所以,要能克服遇到題目,能懂、可解、滿級分,你一定要先懂得捉住某章節 / 某觀念 / 某公式 的真正本質與應用。其次,再透過系統化分析與討論,才能因題而解,分數自然手到擒來。


小結:
1) 試著請學生說出"排列組合"是在教什麼?若只是說一些公式或新名詞,那可能就是不得其法,沒有一套完善系統化學習。

2) 試著請學生歸納某章節的觀念與公式。若無法理解彼此關系,顯示該章節其實有理解上的障礙。千萬別以為會解題,就是通盤理解!因為置換或壘加新的障眼法,或許就可能讓分數擱淺了

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